Leituras e Curiosidades de Matemática

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O Infinito

O Grande Hotel de Hilbert

David Hilbert, matemático alemão, nasceu na cidade de Königsberg em 1862, sendo considerado um dos maiores matemáticos do século XX.

Em 1900, no Congresso Internacional de Matemática, realizado em Paris, apresentou uma lista de 23 problemas, alguns dos quais não foram resolvidos até hoje.

Hilbert, através de um exemplo, que recebeu o nome de "O Paradoxo do Grande Hotel de Hilbert", nos leva a refetir sobre quantidades infinitas.

Suponhamos um hotel constituído de infinitos quartos, dispostos horizontalmente, um ao lado do outro.

Certo dia chega a esse hotel um novo hóspede e qual não é a sua decepção, quando na recepção se depara com uma placa informando não haver vagas.

O gerente do hotel, uma pessoa sempre muito prestativa, vendo o ar de tristeza do pretenso hóspede, pede para que o mesmo aguarde enquanto tenta resolver o problema.

Que fez então o gerente?

Pediu a todos os hóspedes para que se mudassem para os quartos de numeração imediatamente superior àquela que ocupavam. Assim sendo, o hóspede do quarto 1, mudou-se para o quarto 2, o do quar-to 2, para o quarto 3, o do quarto 3, para o quarto 4, e assim sucessivamente. Dessa maneira, todos os hóspedes continuaram acomodados, e o novo hóspede pode, então, ocupar o quarto de número 1, que ficara vago.

No dia seguinte, um ônibus extremamente grande, com capacidade para infinitos passageiros e to-talmente lotado, chega ao hotel com o propósito de hospedar todos esses passageiros. Ao entrar na recep-ção do hotel, o responsável pelo ônibus observa a placa informando não haver vagas. Desolado, vira-se e encaminha-se para a porta de saída do hotel. O gerente, percebendo que estava prestes a perder um núme-ro infinito de diárias, dirigiu-se ao responsável pelo ônibus e pediu-lhe que aguardasse por alguns instan-tes, enquanto tentava ajeitar a situação.

O que fez desta vez o gerente do hotel?

Pediu gentilmente a cada um dos hóspedes que ocupavam o hotel, que passassem a ocupar os quartos cujos números correspondessem ao dobro do número do quarto que ocupavam até àquele momen-to. Dessa forma, o hóspede que ocupava o quarto número 1, passou a ocupar o quarto número 2, o que ocupava o quarto número 2, passou a ocupar o quarto número 4, o que ocupava o quarto número 3, passou a ocupar o quarto número 6, e assim sucessivamente. Dessa forma, todos os hóspedes que já estavam acomodados, continuaram acomodados, ocupando todos os quartos de numeração par. Por outro lado, os quartos de numeração ímpar, estavam agora vazios, podendo, dessa maneira, ser ocupados pelos passagei-ros do ônibus.

Através desse criativo exemplo, Hilbert nos mostra de forma muito clara e simples que:

- Infinito somado com um e, infinito subtraído de um, continua sendo infinito

- Infinito somado com um milhão e, infinito subtraído de um milhão, continua sendo infini-to

- O dobro de infinito continua sendo infinito

- A metade de infinito continua sendo infinito